“函数的零点”教学设计

普通高中课程标准实验教科书《数学》必修1，苏教版，对函数零点的教学设计为：①提出问题；②给出概念；③实例应用；④总结结论。笔者认为教材的教学设计不是很好，所以进行了二次开发，作了如下的设计：
　　
　　一、教学过程
　　
　　1　创设情景提出问题
　　师：方程Inx+x-4=0是否有实根?
　　设计意图：教材从学生熟知的二次函数展开讨论，这样的引人缺乏吸引力，学生不感兴趣，因此我们应该重新思考，举出学生陌生的问题作为情境。这样才能吸引注意力，激发学习兴趣。
　　2　探索交流发现新知
　　师：为了解决上述问题，我们先研究y=x2-2x-3的图像。回答：①x2-2x-3=0的根是什么?②方程的根和函数图像与x轴交点之间有什么联系?
　　生：学生结合图像回答。
　　师：引出课题：函数的零点。再思考：
　　①函数的零点与方程的根、函数图像之间有什么联系?
　　生：函数的零点－方程的根－图像与x轴交点。
　　②函数的零点是点吗?
　　生：不是，是图像与x轴交点的横坐标，是实数。
　　设计意图：引导学生遇到复杂问题时简单化，寻找类似简单问题的解决方法，进行合理迁移，培养学生解决新问题的能力。
　　3　师生互动总结方法
　　师：课本P75例1。
　　生：自行阅读。
　　师：例2：函数f(x)=lnx+x-4的零点的个数为_________。
　　生：无法求根，可作函数的图像，再判断。
　　师：图像不熟悉怎么办?
　　生：可转化为熟悉的图像，转化为y1=lnx与y2=-x+4的交点个数。
　　师：非常好!通过方程的等价转化，实现未知向已知转化。
　　设计意图：对于新问题，引导学生建立函数与方程的联系，由未知向已知转化，渗透转化思想，并培养从不同角度思考问题的习惯。
　　师：函数零点的求解与个数的判断，有什么方法?
　　生：讨论，总结方法：①(代数法)求相应方程的根。②(几何法)转化为函数图像的交点。
　　4　乘胜追击得出结论
　　师：f(*)=lnx+x-4有零点的区间为(k，k+1)，则整数k的值为________。
　　生：由图像可知零点在(1，4)，要细化，考查(1，4)中的整数，得k=2.
　　师；解后反思，发现f(2)<0，f(3)>0，这说明什么?
　　生：y=f(x)在(2，3)上必有零点。一般地，若y=f(x)在[a，b]上的图像是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)<0，则y=f(x)在(a，b)上有零点
　　设计意图：通过变式训练熟悉各类题型，积累解题经验；通过解后反患，由特殊到一般，总结重要结论。
　　5　反思质疑完善建构
　　师：针对该定义，思考：①为什么图像要“不间断”?
　　生：若间断，结论不成立如：f(x)=x-1在[-1，1]上。
　　②结论是有零点，有几个?
　　生：不确定!如f(x)=x3-3x在[-2，2]和[-1，1]上。
　　师：③若f(a)f(b)>0是否没有?
　　生：不是!如：f(x)=x3-3x在[-1，2]上。
　　设计意图：打破教材的神圣地位，培养学生质疑的习惯，帮助学生养成严谨的思维。
　　师：函数零点个数的判断究竟该如何?
　　生：若y=f(x)在[a，b]上的图像是一条不间断的曲线。①若f(a)f(b)<0，则y=f(x)在(a，b)上至少有一个零点；②若f(a)f(b)>0，则y=f(x)在(a，b)上零点个数不确定：③若f(a)f(b)=0，则y=f(x)在区间端点中至少有一个零点。各种情况具体几个要研究函数性质。
　　6　当堂训练促进深化
　　(1)f(x)=xlgx-1有零点的区间为(k，k+1)，则整数k的值为______。
　　(2)方程3x+log2x=0在[0.25，1]内实数根的个数为_______。
　　设计意图：通过当堂训练，来增强学生对所学内容的理解，完善知识结构体系!
　　7　课堂小结形成网络
　　◆函数的零点概念：函数的零点－方程的根－图像与x轴交点。
　　◆函数的零点个数的判断方法
　　◆数学思想：函数与方程、数形结合、转化思想。
　　设计意入：回忆本节内容，回顾做题经历，畅谈个人体会，互相交流借鉴原本分散的知识经过梳理更加系统化、结构化，初步形成知识网络。
　　
　　二、对本教学设计的思考
　　
　　教材的二次开发主要有四个过程：课程情景化、课程重构、多元主体对话和课程教学一体化的过程
　　本课从未矧的方程出发，建立合理的情境，让学生陷入困境，激发求知欲。这样的设计体现了新课程以学生为主体的思想，变“被动学习”为“主动学习”。
　　本节课的思维活动紧紧围绕着函数的零点这一核心内容由低到高，逐步深入的展开，始终渗透着数学的三大思想方法：函数与方程、转化与化归、数形结合。
　　教学不是简单的传递、灌输书本知识，而应结合具体教学情境创造性的使用教材，其间可涉及教材内容的调整加工、教材资源的整合和教师自主开发的教学资源等。从而达到更好地开发教材的目的。